Frédéric Bourgeois
Du patinage et de l'optique à la géométrie de contact Du patinage et de l'optique à la géométrie de contact
Reference 6 Version 1 Date 21/01/2013
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Introduction

Lors de l’étude d’espaces géométriques et en vue d’applications variées, nous sommes amenés à considérer diverses structures géométriques sur ces espaces. Ainsi, une structure permettant de mesurer angles et distances donne lieu à la géométrie euclidienne bien connue. Lorsque l’espace est courbe, on parle plutôt de géométrie riemannienne. Il s’agit du cadre géométrique de la théorie de la relativité générale en physique. À côté de ces exemples assez connus, les structures symplectiques généralisent en toutes dimensions paires la notion d’aire en dimension deux, et constituent le cadre naturel de la mécanique classique.

Nous nous intéresserons ici aux structures de contact, qui sont l’analogue en dimension impaire des structures symplectiques. Ces structures géométriques apparaissent naturellement en théorie du contrôle, en optique géométrique, ainsi qu’en thermodynamique. Pour comprendre la nature de ces structures et leur comportement, nous allons les étudier à travers des modèles que ces structures peuvent engendrer pour le patinage et en optique.

Patinage

Étudions mathématiquement le mouvement d’un patineur évoluant sur la glace. Pour simplifier notre étude, nous ne considérons qu’un seul patin en contact avec la glace.

Pour repérer ce patin, il est nécessaire de spécifier sa position sur le plan de la patinoire (ceci peut être fait au moyen de deux coordonnées cartésiennes x et y) ainsi que la direction de sa lame (par exemple au moyen d’un angle θ). En termes plus géométriques, le patin est représenté par un point (position) et une flèche qui y est attachée (direction). Une telle donnée « point + flèche » est appelée un élément de contact.

On peut voir de manière abstraite un élément de contact comme un point d’un espace à trois dimensions, décrit par les trois coordonnées x, y et θ. Cet espace est naturellement appelé espace des éléments de contact. En chaque point de cet espace, considérons un petit plan passant par ce point et dont la projection le long de l’axe θ est alignée avec la flèche de l’élément de contact correspondant. La donnée de ce petit plan en chaque point de l’espace des éléments de contact constitue une structure de contact, illustrée par la figure 1.

Figure 1 : structure de contact dans l'espace des éléments de contact.
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Figure 1 : structure de contact dans l'espace des éléments de contact.

Soulignons qu’un élément de contact peut être vu de deux manières différentes : soit comme un point et une direction dans le plan, soit comme un point de l’espace des éléments de contact. Nous ferons usage par la suite de ces deux points de vue, de manière interchangeable. Ainsi, une structure de contact est définie sur l’espace des éléments de contact par la donnée d’un petit plan en chaque point, c’est-à-dire en chaque élément de contact (deuxième point de vue), de sorte que la projection de ce petit plan le long de l’axe θ est alignée avec la flèche de l’élément de contact (premier point de vue).

Cette structure de contact décrit les mouvements possibles du patin sur la glace. Pour s’en convaincre, envisageons différents déplacements du patin. Si celui-ci glisse le long de sa lame, le déplacement correspond dans l’espace des éléments de contact à un segment perpendiculaire à l’axe θ le long des plans de contact. Si le patin, placé sur la pointe de sa lame, pivote sur place, le déplacement donne lieu à un segment parallèle à l’axe θ, et donc le long des plans de contact. Plus généralement, si le patineur effectue un virage en avançant, le déplacement correspond à une direction dans les plans de contact intermédiaire aux deux directions ci-dessus, et plus proche de l’une ou de l’autre suivant que le virage est plus ou moins serré. Par contre, le patin ne peut racler la glace en se déplaçant dans une direction qui n’est pas celle de sa lame. Ceci correspondrait dans l’espace des éléments de contact à un déplacement qui n’est pas tangent aux plans de contact.

Malgré l’existence de ces contraintes pour le mouvement du patin, nous savons bien qu‘un patineur peut se déplacer de toute partie de la patinoire pour se rendre en n’importe quel point de celle-ci, en faisant face à n’importe quelle direction. Une manière efficace d’y parvenir est de pivoter sur place vers le point d’arrivée, d’y glisser en ligne droite, puis d’y pivoter sur place vers la direction souhaitée. Dans l’espace des éléments de contact, ceci correspond à une trajectoire formée de trois segments le long des plans de contact. Le patineur peut aussi effectuer ce déplacement plus élégamment en prenant des virages plutôt qu’en pivotant sur place. Dans ce cas, la trajectoire correspondante dans l’espace des éléments de contact est une courbe lisse et partout tangente aux plans de contact. Une telle trajectoire est appelée une courbe legendrienne.

Nous venons d’identifier une propriété qui est au cœur de la nature des structures de contact : malgré que celles-ci décrivent une contrainte locale, elles ne donnent pas lieu à de contraintes globales. En d’autres termes, les courbes legendriennes permettent d’atteindre tous les points de l’espace des éléments de contact. Plus précisément, le théorème d’approximation legendrienne permet de quantifier l’abondance des courbes legendriennes. Ce théorème affirme que, pour toute courbe dans l’espace des éléments de contact, on peut trouver une courbe legendrienne qui lui est aussi proche que l’on veut.

Ce résultat peut sembler contre-intuitif car il paraît difficile d’approximer par une courbe legendrienne une courbe correspondant au déplacement d’un patin raclant la glace. Néanmoins, en effectuant de courtes allées et venues d’avant en arrière, tout en prenant soin de légèrement pivoter la lame avant chaque changement de direction, on peut faire glisser le patin presque parallèlement à lui-même et très près de la trajectoire de raclage, tout en le décalant progressivement vers sa destination. De nouveau, on peut rendre cette trajectoire plus harmonieuse en remplaçant les pivots par de légers virages dans les zigzags. La courbe legendrienne correspondante dans l’espace des éléments de contact s’enroule très finement autour de la courbe de raclage et progresse en colimaçon vers sa destination, comme illustré par la figure 2.

Figure 2 : approximation legendrienne d'une courbe.
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Figure 2 : approximation legendrienne d'une courbe.

Le théorème d’approximation legendrienne peut être appliqué à d’autres situations, comme celle décrivant le mouvement d’une voiture, en modélisant celle-ci par un élément de contact. Le parking parallèle est une manœuvre délicate, en particulier lorsque la place de parking n’est pas beaucoup plus grande que le véhicule à garer. Lorsque la marge de manœuvre se rétrécit, la trajectoire à suivre doit se rapprocher de plus en plus d’une trajectoire interdite, qui correspondrait à un déplacement latéral de la voiture, ses pneus raclant le sol. Par le théorème d’approximation legendrienne, il est toujours possible de trouver une trajectoire admissible qui soit compatible avec une étroite marge de manœuvre. Par conséquent, il est toujours possible de se garer parallèlement lorsque la place est plus grande que la voiture.

Figure 3 : application du théorème d'approximation legendrienne au parking parallèle.
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Figure 3 : application du théorème d'approximation legendrienne au parking parallèle.
Optique

L’optique géométrique est un domaine qui a été étudié depuis longtemps et dont les lois fondamentales peuvent être décrites géométriquement. D’une part, le principe de Fermat, datant de 1658, stipule que la lumière se déplace d’un point à un autre en empruntant un chemin qui minimise son temps de parcours. D’autre part, le principe de Huygens, formulé en 1690, affirme que tout point d’un front d’onde est la source d’une onde élémentaire, de sorte qu’un front d’onde ultérieur est l’enveloppe de ces ondes élémentaires.

Figure 4 : Pierre de Fermat (1601-1665) et Christiaan Huygens (1629-1695).
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Figure 4 : Pierre de Fermat (1601-1665) et Christiaan Huygens (1629-1695).

Ces deux principes décrivent la propagation de la lumière, mais à partir de points de vue fort différents. Le principe de Fermat représente la lumière par une collection de rayons lumineux, alors que le principe de Huygens interprète la lumière comme une onde. Nous allons voir que la modélisation de l’optique géométrique par la géométrie de contact permet de se convaincre assez facilement que ces principes sont en fait équivalents.

Pour simplifier cette modélisation, nous décrivons dans un premier temps la propagation de la lumière dans un plan. Un rayon lumineux issu d’un point est équivalent à la donnée d’un élément de contact. Munissons cette fois l’espace des éléments de contact d’une structure de contact dont les petits plans se projettent le long de l’axe θ sur des segments perpendiculaires aux éléments de contact. Cette structure de contact est un objet naturel dans le cadre de l’optique géométrique : la propagation des rayons lumineux, suivant le principe de Fermat, préserve les plans de contact.

En effet, d’une part, une rangée d’éléments de contact perpendiculaire à leur direction commune va se propager suivant des lignes droites parallèles, en une rangée d’éléments de contact toujours perpendiculaire à leur même direction commune (partie gauche de la figure 5). Par conséquent, la direction des plans de contact perpendiculaire à l’axe θ est conservée. D’autre part, une source ponctuelle émettant des rayons lumineux dans toutes les directions correspond à des éléments de contact situés sur une droite parallèle à l’axe θ. Ces éléments de contact vont se propager en un cercle d’éléments de contact ayant des directions radiales. Dans l’espace des éléments de contact, ce cercle correspond à une courbe hélicoïdale qui avance de 2π dans la direction de l’axe θ en un tour (partie droite de la figure 5). Cette courbe est tangente aux plans de contact, de sorte que la direction de l’axe θ est transformée après propagation en une autre direction, toujours tangente aux plans de contact. Au total, les deux directions étudiées déterminent les plans de contact et restent tangentes à ceux-ci après propagation, de sorte que la structure de contact est bien conservée par la propagation des rayons lumineux.

Figure 5 : plans de contact conservés par la propagation.
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Figure 5 : plans de contact conservés par la propagation.

L’étude ci-dessus montre également que les courbes legendriennes de l’espace des éléments de contact se projettent le long de l’axe θ sur des fronts d’onde.

L’interprétation du principe de Fermat et des fronts d’onde dans l’espace des éléments de contact va nous permettre de faire le lien avec le principe de Huygens. Considérons un point P sur un front d’onde F. Le principe de Huygens revient à dire que le front d’onde F’ obtenu après un certain délai est tangent au front d’onde élémentaire P’ émis par P au bout du même délai. Dans l’espace des éléments de contact, le point P correspond à une droite legendrienne D parallèle à l’axe θ, et le front d’onde F correspond à une courbe legendrienne L coupant D en un point se projetant sur P. Après le délai ci-dessus, les courbes legendriennes D et L deviennent d’autres courbes legendriennes D’ et L’ se projetant sur P’ et F’ respectivement, et se coupant également en un point. En ce point, les courbes D’ et L’ sont tangentes au même plan de contact, de sorte que leurs projections P’ et F’ sont bien tangentes.

Cette description de l’optique géométrie au moyen de la géométrie de contact peut être généralisée de deux manières. D’une part, si l’on veut décrire la propagation de la lumière dans l’espace à trois dimensions, plutôt que dans le plan comme ci-dessus, il faut considérer des éléments de contact décrits par un point ayant 3 coordonnées cartésiennes et une flèche correspondant à un point de la sphère, soit 2 angles. Au total, l’espace des éléments de contact a maintenant 5 dimensions. On peut y définir une structure de contact en considérant en chaque point (ou élément de contact) un petit « plan » de dimension 4 qui se projette dans l’espace à 3 dimensions sur le plan perpendiculaire à l’élément de contact considéré. Plus généralement, les structures de contact peuvent être définies sur des espaces ayant un nombre impair de dimensions.

D’autre part, lorsque l’on veut décrire la propagation de la lumière dans un milieu matériel, il faut tenir compte de son indice de réfraction n. Celui-ci peut dépendre des 3 coordonnées cartésiennes de l’espace (pour un milieu inhomogène) et des 2 coordonnées angulaires décrivant la direction de propagation (pour un milieu anisotrope). Ainsi, l’indice de réfraction peut être considéré comme une fonction définie sur l’espace des éléments de contact. La structure de contact sur l’espace des éléments de contact reste identique, mais la propagation des rayons lumineux ne suit plus le champ de vecteurs orthogonal aux plans de contact et de longueur c. À la place, il faut considérer un champ de vecteurs plus compliqué, appelé champ de Reeb. C’est l’unique champ de vecteurs sur l’espace des éléments de contact qui préserve la structure de contact et dont la projection sur le champ de vecteurs orthogonal aux plans de contact est de longueur c/n. Comme l’illustre la figure 6, le champ de Reeb dépend fortement de l’indice de réfraction.

Figure 6 : champ de Reeb dans le vide (à gauche) et dans un milieu matériel (à droite).
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Figure 6 : champ de Reeb dans le vide (à gauche) et dans un milieu matériel (à droite).
Géométrie de contact

La géométrie de contact est un domaine relativement récent, mais qui est l’objet de recherches très intensives. Pour illustrer ceci, passons en revue quelques étapes particulièrement importantes dans le développement de ce domaine jusqu’au début du millénaire.

Le terme « élément de contact » a été utilisé pour la première fois par le mathématicien Sophus Lie  (1) en 1872. Mais il faut attendre jusque dans les années 1950 pour que l’on commence à parler de structures de contact et pour que leurs propriétés fondamentales commencent à être étudiées, notamment par Georges Reeb  (2) et par John Gray  (3). Des résultats plus globaux et diverses constructions ont été obtenus dans les années 1970 par Jean Martinet  (4) et par Robert Lutz  (5).

La géométrie symplectique a ensuite été révolutionnée en 1985 par Mikhail Gromov  (6) qui introduit les courbes holomorphes dans ce domaine. Les premières applications de ces nouvelles techniques en géométrie de contact sont obtenues quelques années plus tard, en collaboration avec Yakov Eliashberg. Ce dernier obtient  (7) les premiers résultats de classification pour structures de contact en dimension 3. L’utilisation plus systématique et générale de courbes holomorphes en géométrie de contact sera rendue possible par les travaux de Helmut Hofer  (8) en 1993.

La compréhension des structures de contact en dimension 3 connaitra un essor remarquable grâce à l’introduction des surfaces convexes par Emmanuel Giroux  (9) en 1991. Celui-ci obtiendra ensuite de nombreux résultats de classification  (10), dont certains en parallèle avec Ko Honda  (11), au début des années 2000.

Pour mieux comprendre ce qu’est la recherche en géométrie de contact, considérons deux questions fondamentales dans ce domaine, qui ont été l’objet de recherches intenses menant à de nombreuses réponses partielles, mais qui restent encore ouvertes à ce jour.

La première question concerne la construction globale des structures de contact : quels espaces admettent une ou plusieurs structures de contact ? Comme les structures de contact admettent un modèle local unique, qui est illustré par la figure 1, il s’agit bien d’une question globale. En ce qui concerne l’existence d’au moins une structure de contact, on sait qu’un espace doit satisfaire une condition de nature topologique pour admettre une structure de contact. Les experts pensent à présent que cette condition devrait suffire à garantir l’existence d’une structure de contact, mais ce n’est pas encore prouvé. En 1971, Martinet  (12) a démontré l’existence en dimension 3. Plusieurs constructions en dimension supérieure à 3 ont été obtenues ensuite pour diverses classes d’espaces. Mais pour illustrer leurs limitations et la difficulté de cette question, ce n’est qu’en 2002 que j’ai démontré que les tores de dimension impaire admettent une structure de contact (13), plus de vingt ans après que Lutz ait posé cette question.

En ce qui concerne l’existence ou non de plusieurs structures de contact, le premier résultat d’unicité a été obtenu par Eliashberg  (14) en 1992 pour la sphère de dimension 3. Giroux a ensuite montré  (15) en 1994 que le tore de dimension 3 en admet une infinité. Le premier résultat en dimension supérieure à 3 est dû à Ustilovsky  (16), qui a montré que les sphères de dimension 4k+1 admettent une infinité de structures de contact ne pouvant être distinguées qu’au moyen de courbes holomorphes. Dans ma thèse de doctorat  (17) en 2002, j’ai ensuite obtenu un résultat analogue pour d’autres espaces, incluant le tore de dimension 5. On s’intéresse désormais à comprendre les propriétés que de telles familles de structures de contact partagent ou non.

La deuxième question concerne le lien entre les structures de contact et les systèmes dynamiques via le champ de Reeb. La conjecture de Weinstein  (18), formulée en 1978 et restant l‘une des conjectures les plus célèbres de ce domaine, s’énonce maintenant en disant que tout champ de Reeb sur un espace fermé devrait admettre (au moins) une trajectoire périodique. Cette conjecture est notamment motivée par l’étude des mouvements périodiques d’un système mécanique à énergie fixée. En 1993, Hofer démontra  (19) au moyen de courbes holomorphes que la sphère de dimension 3 satisfait à cette conjecture. Par des techniques analogues mais plus générales, introduites par Eliashberg, Givental et Hofer  (20) en 2000, on peut obtenir de tels résultats pour des structures de contact sur diverses classes d’espaces de toutes dimensions. En 2007, Taubes démontra  (21) la conjecture de Weinstein en dimension 3. Ses techniques étant propres à la dimension 3, diverses équipes tentent de perfectionner les techniques basées sur les courbes holomorphes, afin d’établir cette conjecture en dimension supérieure à 3. J’ai ainsi obtenu, en collaboration avec Ekholm et Eliashberg, des résultats  (22) permettant de savoir si la conjecture reste vraie lorsque l’on modifie l’espace et sa structure de contact par une opération géométrique appelée chirurgie legendrienne.

Ces questions et les quelques résultats cités à leur sujet ne montrent qu’un petit échantillon des recherches menées en géométrie de contact, mais illustrent à la fois l’intensité des recherches dans ce domaine et l’ampleur du travail restant à accomplir.

Références

V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Mathematics, 60 (Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1978).

F. Bourgeois, Odd dimensional tori are contact manifolds, Int. Math. Res. Not., 2002 No. 30, 1571-1574.

F. Bourgeois. A Morse-Bott approach to contact homology. PhD thesis, Stanford University, 2002.

F. Bourgeois, T. Ekholm, Y. Eliashberg, Effect of Legendrian surgery, Geom. Topol. 16 (2012), 301-389.

Y. Eliashberg, Classification of overtwisted contact structures on 3-manifolds, Invent. Math. 98 (1989), no. 3, 623-637.

Y. Eliashberg, Contact 3-manifolds twenty years since J. Martinet's work, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (1992), 165-192.

Y. Eliashberg, A. Givental, H. Hofer, Introduction to Symplectic Field Theory, Geom. Funct. Anal., Special Volume (2000), Part II, 560–673.

H. Geiges, Christiaan Huygens and Contact Geometry, Nieuw Archief voor Wiskunde (5th series) 6 (2005), 117-123.

E. Giroux, Convexité en topologie de contact, Comment. Math. Helv. 66 (1991), no. 4, 637-677.

E. Giroux, Une structure de contact, même tendue est plus ou moins tordue. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 27 (1994), 697-705.

E. Giroux, Structures de contact en dimension trois et bifurcations des feuilletages de surfaces, Invent. Math. 141 (2000), no. 3, 615-689.

J. Gray, Some global properties of contact structures, Annals of Math. (2) 69 (1959), 421-450.

M. Gromov, Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307-347.

H. Hofer, Pseudoholomorphic curves in symplectizations with applications to the Weinstein conjecture in dimension three, Invent. Math. 114 (1993), no. 3, 515–563.

K. Honda, On the classification of tight contact structures I, Geom. Topol. 4 (2000), 309-368.

S. Lie, Zur Theorie partieller Differentialgleichungen, Göttinger Nachrichten 1872, pp. 480 ff.

R. Lutz, Sur l'existence de certaines formes différentielles remarquables sur la sphère S3, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 270 (1970), A1597-A1599.

J. Martinet, Formes de contact sur les variétés de dimension 3, in: Proc. Liverpool Singularities Sympos. II, Lecture Notes in Math. 209, Springer, Berlin (1971), 142-163.

G. Reeb, Trois problèmes de la théorie des systèmes dynamiques, Colloque Géom. Diff. Globale (Bruxelles, 1958), Centre Belge Rech. Math., Louvain (1959), 89-94

C. Taubes, The Seiberg-Witten equations and the Weinstein conjecture, Geom. Topol. 11 (2007), 2117-2202.

I. Ustilovsky, Infinitely many contact structures on S4m+1, Int. Math. Res. Notices 14 (1999), 781-791.

A. Weinstein, On the hypotheses of Rabinowitz’ periodic orbit theorem, J. Differential Equations 33 (1979), 353-358.